Radicales

Un radical es una expresión de la forma , 

en la que n   y a   ; 

con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radicales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario
y la propiedad de las fracciones que dice que
si se multiplica numerador y denominador por
un mismo número la fracción es equivalente,
obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice 
y el exponente de un radical por un
mismo número natural, se obtiene 
otro radical equivalente.

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida 
al índice y al exponente (o los exponentes) 
del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo 
de los índices, que será el común índice

2Dividimos el común índice por cada uno
 de los índices y cada resultado obtenido se 
multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor
correspondiente se deja en el radicando.

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente
sale fuera del radicando.

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho
exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente
del factor fuera del radicando y el resto es el exponente 
del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

     Se introducen los factores elevados al índice 

     correspondiente del radical.

Operaciones con radicales

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) 
dos radicales cuando sonradicales semejantes,
es decir, si son radicales con el mismo índice 
e igual radicando.

Producto de radicales

Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice
se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

Cuando terminemos de realizar una operación 
extraeremos factores del radical, si es posible.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

Cociente de radicales

Radicales del mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice
se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Cuando terminemos de realizar una operación 
simplificaremos el radical, si es posible.

Potencia de radicales

Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha 
potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando
y cuyo índice es el producto de los dos índices.

Racionalizar

Consiste en quitar los radicales del denominador
lo que permite facilitar el cálculo de operaciones
como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.

1Del tipo 

Se multiplica el numerador y el denominador por .

2Del tipo 

Se multiplica numerador y denominador por .

3Del tipo , y en general cuando
el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado 
del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el 
signo central cambiado:

También tenemos que tener en cuenta que:
"suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

Fuente: http://www.ditutor.com/numeros_reales/radicales.html