Números Complejos

        

                                      INTRODUCCIÓN NÚMEROS COMPLEJOS

       El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídeas, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

       Definiremos cada complejo z como un par ordenado de  números reales (a,b) ó                                       (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones.

Suma

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)

Producto por escalar

r(a,b) = (ra, rb)

Multiplicación

(a,b) . ( c,d) = (ac – bd, ad + bc)

Igualdad

(a,b) = (c,d)

a = c ^ b = d

            A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

Resta

 (a,b) – (c,d) = (a- c, b – d)

División

 (a,b) / (c,d) = (ac+ bd, bc – ad) / c2 + d2 = (ac+bd / c2 + d2 , bc-ad/ c2 + d2)

            Al primer componente (que llamaremos a) se le        llama parte real y al segundo (que     llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número       imaginario puro a aquel que está compuesto sólo por           la parte imaginaria, es decir, aquel en el que A = 0 .

Unidad imaginaria.

Tomando en cuenta que (a, 0) . (0,1) = (0,a), se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido

 como i = (0,1)

De donde se deduce inmediatamente que:

       Representación gráfica de números  complejos.

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:

Por el punto (a,b), que se llama su afijo,

Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO 

      Suma de números complejos

La suma de números complejos se realiza sumando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

                     Resta de números complejos

La diferencia de números complejos se realiza restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

 

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro.

Para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4i − 6 i² = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

Fuente: Ditutor, números complejos.